MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT

MAKALAH MATEMATIKA DISKRIT

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

NAMA                 : ILHAM SAFITRA DAMANIK

KELAS                : 15S02

NIM                     : 1502047

                                                DOSEN               : Drs.SUHADA,M.KOM                                                                         

 

                                               

PROGRAM STUDI SISTEM INFORMASI

SEKOLAH TINGGI ILMU KOMPUTER TUNAS BANGSA

PEMATANGSIANTAR

2016/2017

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR..............................................................................................................  3

BAB I

PENDAHULUAN 

1.1   LATAR BELAKANG  .................................................................................................... 4

1.2   TUJUAN  ......................................................................................................................... 4

1.3   MANFAAT .....................................................................................................................  4

BAB II

PEMBAHASAN

2.1  TAUTOLOGI   .................................................................................................................. 5

2.2  KONTRADIKSI  .............................................................................................................. 5

2.3   EKUIVALEN  ................................................................................................................. 6

2.4   NEGASI    ........................................................................................................................ 8

2.5 . IMPLIKASI  .................................................................................................................... 8

2.6  BI –IMPLIKASI  .............................................................................................................. 9

2.7 KONJUNGSI  .................................................................................................................. 10

2.8  DISJUNGSI  .................................................................................................................... 11

BAB III

3.1  HIMPUNAN ................................................................................. ................................ 14

3.2  MACAM- MACAM  HIMPUNAN .............................................................................. 16

3.3  DEFENISI HIMPUNAN ...................................................................... ............ ............17

3.4 . JENIS JENIS HIMPUNAN .................................................................................... ..... 18
3.5. MANFAAT BELAJAR HIMPUNAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI – HARI..... 19

BAB IV

4.1 SEJARAH  TEORI BILANGAN .................................................................................... 20

4.2 PENGERTIA TEORI BILANGAN ................................................................................ 20

4.3  MACAM MACAM BILANGAN  ................................................................................. 21

BAB V

PENUTUP  ...........................................................................................................................  22

5.1 KESIMPULAN  .............................................................................................................  22

5.2  SARAN   ........................................................................................................................ 22

Kata Pengantar

Puji syukur sedalam  - dalamnya kami panjatkan kehadirat Allah SWT.
Yang telah melimpahkan rahmatnya dan karunianya sehingga kita dapat menyelesaikan tugas ini.
Adapun isi dari makalah ini merupaka kumpulan data yang berdasarkan informasi yang saya dapatkan baik dari kampus atau media – media yang lain.
Akhirnya segala urusan kita kembali kepada Allah, mohon maaf atas segala kesalahan dan kesejahteraan semoga makalah ini dapat bermanfaat bagi penulis dan pembaca dan semoga menjadi tambahan ‘ilmu bagi kita semua.
Amin Ya Robbal ‘Alamin.

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.  Latar belakang

Matematika sebagai media untuk melatih berpikir kritis, inovatif, kreatif, mandiri dan mampu menyelesaikan masalah sedangkan bahasa sebagai media menyampaikan ide-ide dan gagasan serta yang ada dalam pikiran manusia.Jelas sekali bahwa Matematika sangat berperan dalam kehidupan sehari-hari, kita tidak dapat menghindar dari Matematika, sekalipun kita mengambil jurusan ilmu sosial tetap saja ada pelajaran Matematika di dalamnya karena mau tidak mau matematika digunakan dalam aktivitas sehari-hari.Salah satunya penerapan himpunan dalam kehidupan sehari-hari.

1.2.            Tujuan

Tujuan dari pembuatan makalah matematika diskrit ini adalah sebagai berikut:

       a. Agar Mahasiswa memahami dan mengerti lebih dalam tentang metematika diskrit

       b. untuk memenuhi tugas mata kuliah matematika diskrit yang diberikan oleh Bapak Dosen.

1.3.            Manfaat

Manfaat yang dapat diambil dari penulisan  makalah ini adalah mahasiswa biasa mengerti dan memahami konsep graph dan pengimplementasiannya dalam menyelesaikan masalah dalam kehidupan sehari- hari.

Manfaat yang lain juga membiasakan mahasiswa untuk menulis terutama makalah dan karya- karya ilmiah lainnya.

BAB II

PEMBAHASAN

2.1  TAUTOLOGI
Tautologi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar.
contoh pernyataan tautologi adalah:
(p ʌ q) => q
untuk membuktikan pernyataan diatas adalah tautologi, simak tabel kebenaran untuk tautologi
(p ʌ q) => q berikut;

contoh tabel kebenaran tautologi

contoh lain pernyataan tautologi adalah:
a. ((p => q) ʌ (r => q)) => ((p v r) =>q
b. (p ʌ  ~q) => p


2.2 KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah pernyataan majemuk yang selalu bernilai salah.
contoh pernyataan kontradiksi:
p ʌ (~p ʌ q)
tabel kebenaran pernyataan kontradiksi  p ʌ (~p ʌ q):

Contoh tabel kebenaran kontradiksi

contoh lain pernyataan kontradiksi adalah:
a. (p ʌ ~p)


2.3 EKUIVALEN
Ekuivalen adalah dua atau lebih pernyataan majemuk  yang memiliki nilai kebenaran yang sama.
Contoh ekuivalen:
~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q
tabel kebenaran pernyataan ekuivalen ~(p v q) ≡ ~p ʌ ~q:

Contoh tabel kebenaran ekuivalen

Hukum-hukum ekuivalen:
a. Hukum Komutatif
    p ʌ q ≡  q ʌ p
    p v q ≡ q v p

b. Hukum Distributif
    p ʌ (q v r) ≡(p ʌ q) v (p ʌ r)
    p v (q ʌ r) ≡ (p v q) ʌ (p v r)

c. Hukum Asosiatif
    (p ʌ q) ʌ r ≡ p ʌ (q ʌ r)
    (p v q) v r ≡  p v (q v r)

d. Hukum Identitas
    p ʌ T ≡  p
    p v F ≡  p

e. Hukum Dominasi / Ikatan

    p v T ≡ T

    p v F ≡ F

f.  Hukum Negasi
    p v ~p ≡  T 
    p ʌ ~p ≡ F

g. Hukum Involusi / Negasi Ganda
    ~(~p) ≡  p

h. Hukum Idempoten
    p ʌ p ≡ p
    p v p ≡ p

i.  Hukum De Morgan
    ~( p ʌ q ) ≡  ~p v ~q
    ~( p v q ) ≡ ~p ʌ ~q

j.  Hukum Absorbsi / Penyerapan
    p v (p ʌ q) ≡  p
    p ʌ (p v q) ≡ p

k. Hukum True dan False
    ~T ≡  F
    ~F ≡ T

l.  Hukum Perubahan Implikasi menjadi Disjungsi atau Konjungsi.
    p => q ≡ ~p v q[1]

2.4 .  NEGASI
Jika p adalah “ Semarang ibukota Jawa Tengah”, maka ingkaran atau negasi dari pernyataan p tersebut adalah ~p yaitu “ Semarang bukan ibukota Jawa Tengah” atau “Tidak benar bahwa Semarang ibukota Jawa Tengah”. Jika p diatas bernilai benar (true), maka ingkaran p (~p) adalah bernilai salah (false) dan begitu juga sebaliknya
tabel kebenaran negasi
negasi adalah  negasi berarti menyangkal kebenaran suatu pernyataan. tabel kebenaran negasi dapat dilihat dibawah ini.

2.5.    IMPLIKASI  (Implication)
Implikasi disebut juga dengan kondisional adalah suatu pernyataan bersyarat satu arah. Dua proposisi s dan t dikombinasikan dengan kata “jika…, maka…”.Proposisi “s” disebut hipotesa (anteseden) dan proposisi “t” disebut konklusi (konsekuen).Implikasi bernilai salah jika hipotesa benar dan konklusi salah. Notasi: s→t
Contoh:
s : Satuan untuk arus listrik adalah Ampere. (bernilai benar)
t : 1+1=2 (bernilai benar)
Sehingga s→t : jika satuan untuk arus listrik adalah Ampere maka 1+1=2 (bernilai benar)
IMPLIKASI  → JIKA
P    Q    P→Q
TRUE    TRUE    TRUE
FALSE    FALSE    FALSE
FALSE    TRUE    TRUE
FALSE    FALSE    TRUE

P    Q    P→Q
1    1    1
1    0    0
0    1    1
1    1    TRUE
0    0    1




2.6    BI-IMPLIKASI  (Equivalence)
Bi-implikasi merupakan pernyataan bersyarat dua arah.Dua proposisi s dan t dikombinasikan dengan kata “jika dan hanya jika”. Bi-implikasi bernilai benar jika kedua proposisinya bernilai sama, atau bi-implikasi bernilai salah jika kedua proposisinya bernilai berbeda.
Notasi: s ↔ t
Contoh:
s : 1 adalah bilangan prima (bernilai salah)
t : 5 x 5 = 10 (bernilai salah)
Sehingga s ↔ t : 1 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 5 x 5 = 10 (bernilai benar)
Proposisi s dan t disebut proposisi atomic, sedangkan kombinasi s dengan t menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition).
Biimplikasi atau bikondosional adalah pernyataan majemuk dari dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dengan notasi “p <=> q” yang bernilai sama dengan (p <=>q) ^ (q <=> p)  sehingga dapat dibaca “ p jika dan hanya jika q” atau “p bila dan hanya bila q”. Biimplikasi 2 pernytaan  hanya akan bernilai benar jika implikasi kedua kalimat penyusunnya sama-sama bernilai benar.Contoh 1.5 :
p : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus.
q : Dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.

4

p<=>q : Dua garis saling berpotongan adalah tegak lurus jika dan hanya jika dan hanya jika dua garis saling membentuk sudut 90 derajat.
Tabel Kebenaran
p    q    ~p    ~q    pVq    p^q    p=>q    p<=> q
T    T    F    F    T    T    T    T
T    F    F    T    T    F    F    F
F    T    T    F    T    F    T    F
F    F    T    T    F    F    T    T

Untuk menghindari perbedaan konotasi dan keganjilan arti dalam menerjemahkan simbol-simbol logika maka dalam matematika tidak disyaratkan adanya hubungan antara kedua kalimat penyusunnya.

2.7  KONJUNGSI

Gabungan  dua  pernyataan  tunggal  yang  menggunakan  kata penghubung  “dan”  sehingga  terbentuk  pernyataan majemuk  disebut konjungsi. Konjungsi mempunyai kemiripan dengan operasi irisan () pada  himpunan.  Sehingga  sifat-sifat  irisan  dapat  digunakan  untuk mempelajari  bagian  ini.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan seri pada rangkaian listrik seperti gambar berikut:

Gambar rangkaian seri

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar 1 diberi symbol p dan saklar 2 diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai  pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

1. Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2. Jika salah satu saklar p atau q terbuka (off) ternyatalampu tidak menyala maka pernyataan bernilai salah.
3. Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Berdasar kasus di atas, dapat disimpulkan bahwa suatu konjungsi p ∧ q pada lampu akan menyala hanya jika komponen-komponennya, yaitu baik p maupun q, keduanya sama-sama tertutup sedangkan nilai kebenaran yang selain itu tidak menyala sebagaimana ditunjukkan pada tabel kebenaran berikut:

Tabel Kebenaran Konjungsi

Contoh

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk pq berikut ini!

a. p         : 100 + 500 = 800

q         : 4 adalah faktor dari 12

b.   p          : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata

q          : 625 adalah bilangan kuadrat

Jawaban:

a.   p salah, q benar

p q : 100 + 500 = 800 dan 4 adalah faktor dari 12 (Salah)

Jadi,  (p  q) = S.

b.   (p) = B,   (q) = B.

p  q : Pulau Bali dikenal sebagai pulau Dewata dan 625 adalah

bilangan kuadrat (benar).

Jadi, (p  q) = B.

2.8  DISJUNGSI

Disjungsi adalah proposisi majemuk yang menggunakan perangkai “atau”.

Poposisi  “p  atau  q”  dinotasikan q    p.  Tidak  seperti  pernyataan  berperangkai “dan”  yang  mempersyaratkan  terpenuhinya  kebenaran  semua  unsurnya,  pernyataan  berperangkai  “atau” menawarkan  suatu  pilihan,  artinya  jika  paling tidak salah satu dari kedua unsur proposisinya terpenuhi maka hal ini sudah cukup untuk pernyataan tersebut dikatakan benar.

Operasi konjungsi sering juga ditunjukkan dengan hubungan paralel pada rangkaian listrik seperti gambar berikut :

Gambar Rangkaian Paralel

Dari gambar rangkaian diatas menggunakan saklar symbol saklar A diberi symbol p dan saklar B diberi symbol q. Saklar terbuka (off) sebagai  pernyataan benar, saklar tertutup (on) sebagai pernyataan salah. Lampu yang dipasang pada rangkaian sebagai kebenaran dari pernyataan tersebut.

1. Jika saklar p dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar
2. Jika salah satu saklar p tertutup (on) dan q terbuka (off), atau jika salah satu saklar p terbuak (off) dan q tertutup (on) ternyata lampu menyala maka pernyataan bernilai benar.
3. Jika keduanya saklar p dan q terbuka (off) ternyata lampu juga tidak menyala, maka pernyataan bernilai salah.

Dari gambar rangkaian diatas  tampak bahwa  lampu tidak menyala jika saklar p maupun q sama-sama terbuka atau keduanya salah. Kita sarikan definisi konjungsi dengan tabel kebenaran berikut.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Contoh

Tentukanlah nilai kebenaran untuk disjungsi dua pernyataan yang diberikan !

a.   p : 3 + 4 = 12

q : Dua meter sama dengan 200 cm

b.   p : 29 adalah bilangan prima

q : Bandung adalah ibu kota Provinsi Jawa Barat

c.   p          : Dua garis yang sejajar mempunyai titik potong

q :    adalah bilangan cacah.

Jawaban:
a.   (p) = S,   (q) = B.

Jadi, (p  q) = B.

p q :   3 + 4 = 12 atau dua meter sama dengan 200 cm (benar).

b.   (p) = B,   (q) = B.

Jadi, (p  q) = B.

p q :   29 adalah bilangan prima atau Bandung adalah ibukota Provinsi

Jawa barat (benar).

c.   (p) = S,   (q) = S.

Jadi, (p  q) = S.

BAB III

3.1  HIMPUNAN

              Dalam upaya untuk melakukan pengamatan, pengumpulan, penghimpunan, atau pemisahan (mengklasifikasikan) dari suatu obyek-obyek menurut sifatnya.Perlu adanya pengertian tentang himpunan.Menghimpun adalah suatu kegiatan yang berhubungan dengan berbagai obyek dan mempunyai suatu sifat yang dimiliki bersama.Jadi himpunan adalah kumpulan dari obyek-obyek yang mempunyai sifat tertentu dan didefinisikan secara jelas.Kumpulan itu dapat berupa daftar, koleksi atau kelas. Sedangkan obyek-obyek dalam kumpulan itu dapat berupa benda konkrit atau benda abstrak, seperti: bilangan, abjad, orang, sungai, negara. Obyek-obyek ini di sebut anggota, unsur atau elemen dari himpunan tersebut.

Karena obyek-obyek dalam himpunan telah didefinisikan dengan jelas , sehingga kita dapat membedakan obyek yang menjadi anggota himpunan dan yang bukan menjadi anggota himpunan.
Contoh :
1.     Himpunan bilangan 1, 2, dan 3.
2.     Himpunan vokal a, i, e, o, u.
3.     Himpunan semua huruf dari abjad, yaitu a, i, u, e, o
4.     Himpunan negara-negara asia tenggara.
5.     Himpunan penyelesaian persamaan x2  –  2 x – 3 =0
6.     Himpunan manusia yang hidup di bumi.

Notasi Himpunan

Himpunan biasanya dinyatakan dengan huruf besar A, B, C, ….., K, L, M, ......., X, Y, Z. dan sebagainya. Sedangkan anggota-anggota dari suatu himpunan dinyatakan dengan huruf kecil a, b, c, x, y, ... dan sebagainya.

Jika x anggota dari himpunan A, maka dinyatakan x Î A. dan
Jika x bukan anggota dari himpunan A, maka ditulis x Ï A.

Jika x adalah anggota himpunan A, berarti A mempunyai x sebagai salah satu anggotanya maka dapat di tulis x Î A (di baca x anggota A atau x elemen A). Sebaliknya jika x bukan anggota himpunan A, berarti A tidak mempunyai x sebagai (salah satu) anggotanya maka ditulis : x Ï  A (di baca bukan anggota A, atau bukan elemen A).
Contoh:  1. P  ={a, i, e, o, u}.  Maka;  a Î P,  b Ï  P,  e Π P.
   2. Q ={1, 3, 5, 7, 9}. Maka; 3 Î Q,  6 Ï Q, 8 Ï  Q.

Cara Penulisan Himpunan
Untuk menuliskan atau menyatakan himpunan seperti pada contoh-contoh di atas dirasakan sangat bertele-tele, tidak singkat. Oleh karena itu diperlukan cara menuliskan secara matematis, singkat dan jelas. Di dalam konsep teori himpunan, Ada tiga cara dalam mendefinisikan suatu himpunan antara lain:
1.    Dengan cara mendaftar setiap anggota-anggotanya, diantara dua tanda kurung kurawal.
Contoh:
a.     P = {1, 2, 4, 6, 8} artinya;
P  merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 2, 4, 6, dan 8. 

b.     Q = {1, 3, 5, 7, 9} artinya;
Q merupakan suatu himpunan dengan anggota-anggotanya adalah 1, 3, 5, 7, dan 9.

2.    Dengan cara menyebutkan sifat-sifat yang dimiliki setiap anggota-anggotanya.
Contoh:
a.    P = himpunan vokal dalam abjad latin.
b.    Q = himpunan bilangan cacah ganjil yang kurang dari 10.

3.    Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan.
Contoh:
1.       P  ={x / x adalah vokal dalam abjad latin}.
2.       Q ={x / x adalah bilangan cacah ganjil}.
3.       R ={x / x adalah bilangan riil}

3.2  MACAM- MACAM  HIMPUNAN

Berdasarkan pengamatan dengan memperhatikan jumlah anggotanya, himpunan terbagi menjadi beberapa macam :

1. Himpunan Kosong (himpunan hampa)
Himpunan kosong adalah suatu himpunan yang tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong biasanya dinyatakan dengan notasi Æ atau  {}.
Contoh:
1.     A adalah himpunan manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad.sepanjang pengetahuan kita,tidak ada manusia di bumi yang berumur lebih dari lima abad. oleh karena itu, A = Æ.
2.    B ={x / x = bilangan riil, x2 + 3 = 0} maka ditulis B = Æ

2. Himpunan Semesta
Himpunan semesta adalah himpunan yang mempunyai anggota semua obyek yang sedang dibicarakan. Himpunan semesta biasanya dinyatakan dengan notasi S atau U  (S singkatan dari semesta dan U singkatan dari universal).
Contoh.
1.    S = {5, 7, -4, 9}, A = {7, 9} maka dikatakan,
S merupakan semesta dari himpunan A
2.    Semesta pembicaraan dari K={a, i, o} adalah S = {a, i, e, o, u} = himpunan huruf hidup dalam abjad latin, atau S = {abjad latin}.

3. Himpunan Berhingga (Finit) dan Himpunan Tak Berhingga (Infinit)
Suatu himpunan dapat merupakan himpunan yang berhingga atau himpunan yang tak berhingga. Secara intuitif, himpunan dikatakan berhingga jika himpunan itu beranggotakan elemen-elemen yang berbeda dan banyaknya tertentu/berhingga (jika kita membilang banyak anggota yang berbeda dalam himpunan itu, proses membilang yang kita lakukan akan berakhir) Sedangkan himpunan dikatakan tak berhingga jika himpunan tersebut mempunyai anggota-anggota yang banyaknya tak berhingga. (proses membilang yang kita lakukan untuk menghitung banyak anggota himpunan tersebut tidak akan berakhir).

Contoh:
1.     Ditentukan himpunan H = himpunan bilangan pada permukaan jam duabelas. Maka    H ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} adalah himpunan finit, karena proses membilang kita akan berhenti.
2.    Himpunan I = himpunan bilangan asli genap merupakan himpunan infinit, karena jika kita membilang banyak anggota himpunan I = {2, 4, 6, …,} proses membilang kita tidak akan pernah berhenti.
3.    J = {x / x = himpunan bilangan-bilangan bulat positif} = {1, 2, 3, ….}J disebut himpunan tak berhingga.
4.      K = {Ali, Budi, Joko}
K disebut himpunan berhingga

3.3  DEFENISI HIMPUNAN

    Himpunan adalah kumpulan benda atau objek-objek atau lambang-lambang yang mempunyai arti yang dapat didefinisikan dengan jelas mana yang merupakan anggota himpunan dan mana bukan anggota himpunan. Perhatikan objek yang berada di sekeliling kita, misal ada sekelompok mahasiswa yang sedang belajar di kelas A, setumpuk buku yang berada di atas meja belajar, sehimpunan kursi di dalam kelas A, sekawanan itik berbaris menuju sawah, sederetan mobil yang antri karena macet dan sebagainya, semuanya merupakan contoh himpunan dalam kehidupan sehari-hari.
Jika kita amati semua objek yang berada disekeliling kita yang dijadikan contoh di atas, dapat didefinisikan dengan jelas dan dapat dibedakan mana anggota himpunan tersebut dan mana yang bukan.

    Himpunan makanan yang lezat, himpunan gadis yang cantik dan himpunan bunga yang indah adalah contoh himpunan yang tidak dapat didefinisikan dengan jelas.Lezatnya makanan, cantiknya gadis dan indahnya bunga bagi setiap orang relatif. Lezatnya suatu hidangan bagi seseorang atau sekelompok orang  belum tentu lezat bagi orang lain atau sekelompok orang lainya. Demikian juga indahnya sekuntum bunga bagi seseorang belum tentu indah bagi orang lain. Bagi A yang indah adalah mawar merah bagi B yang indah adalah melati.Jadi relatif bagi setiap orang.Benda atau objek yang termasuk dalam himpunan disebut anggota atau elemen atau unsur himpunan tersebut.Umumnya penulisan himpunan menggunakan huruf kapital A, B, C dan seterusnya, dan anggota himpunan ditulis dengan huruf kecil.

3.4 . JENIS JENIS HIMPUNAN

1.    Himpunan Kosong
Definisi :  Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunan dengan kardinalitas = 0 (nol) atau {}.

2.    Himpunan Bagian
Definisi : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A.

3.    Himpunan sama
Definisi : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka kita katakan A tidak sama dengan B.

Notasi : A = B  <==>  A ⊆ B dan B ⊆ A 


Tiga hal yang perlu di catat dalam memeriksa kesamaan dua buah himpunan :
1.    Urutan elemen di dalam himpunan tidak penting.
Jadi, {1,2,3} = {3,2,1 = {1,,3,2}
2.    Pengulangan elemen tidak mempengaruhi kesamaan dua buah himpunan.
Jadi, {1,1,1,1} = {1,1} = {1}
3.    Untuk tiga buah himpunan, A,B dan C berlaku aksioma berikut:

(a) A = A, B = B dan C = C
(b) Jika A = B, maka B = A
(c) Jika A = B dan B = C, maka A = C

3.5. MANFAAT BELAJAR HIMPUNAN DALAM KEHIDUPAN SEHARI - HARI

    Membahas mengenai manfaat himpunan dalam kehidupan sehari-hari, mengingatkan kita yang mungkin sebagai guru atau orang tua saat ada pertanyaan yang terlontar dari anak dengan wajah polosnya.“Apa manfaat himpunan dalam kehidupan kita sehari-hari?”Mereka belum tahu betapa pentingnya himpunan yang merupakan dasar dari segala ilmu Matematika.

Dengan mempelajari himpunan, diharapkan kemampuan logika akan semakin terasah dan akan memacu kita agar kita mampu berpikir secara logis, karena dalam hidup, logika memiliki peran penting karena logika berkaitan dengan akal pikir. Banyak kegunaan logika antara lain:
1.    Membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren.
2.    Meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif.
3.    Menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri.
4.    Memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis.
5.    Meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan.
6.     Mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

BAB IV

4.1 SEJARAH  TEORI BILANGAN

Teori adalah serangkaian bagian atau variabel, definisi, dan dalil yang saling berhubungan yang menghadirkan sebuah pandangan sistematis mengenai fenomena dengan menentukan hubungan antar variabel, dengan menentukan hubungan antar variabel, dengan maksud menjelaskan fenomena alamiah. Labovitz dan Hagedorn mendefinisikan teori sebagai ide pemikiran “pemikiran teoritis” yang mereka definisikan sebagai “menentukan” bagaimana dan mengapa variable-variabel dan pernyataan hubungan dapat saling berhubungan^.

Kata teori memiliki arti yang berbeda-beda pada bidang-bidang pengetahuan yang berbeda pula tergantung pada metodologi dan konteks diskusi. Secara umum, teori merupakan analisis hubungan antara fakta yang satu dengan fakta yang lain pada sekumpulan fakta-fakta .Selain itu, berbeda dengan teorema, pernyataan teori umumnya hanya diterima secara “sementara” dan bukan merupakan pernyataan akhir yang konklusif.Hal ini mengindikasikan bahwa teori berasal dari penarikan kesimpulan yang memiliki potensi kesalahan, berbeda dengan penarikan kesimpulan pada pembuktian matematika.

4.2 PENGERTIA TEORI BILANGAN

     Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma Euklidean untuk menghitung faktor persekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini.Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Juga teorema sisa Tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Möbius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.Bilangan adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk pencacahan dan pengukuran. Simbol ataupun lambang yang digunakan untuk mewakili suatu bilangan disebut sebagai angka atau lambang bilangan. Dalam matematika, konsep bilangan selama bertahun-tahun lamanya telah diperluas untuk meliputi bilangan nol, bilangan negatif, bilangan rasional, bilangan irasional, dan bilangan kompleks.

4.3  MACAM MACAM BILANGAN

Bilangan Bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif, bilangan nol, dan bilangan negatif.
Misal : ….-2,-1,0,1,2….
Bilangan asli adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 1(satu) sampai tak terhingga.
Misal : 1,2,3….
Bilangan cacah adalah bilangan bulat positif yang diawali dari angka 0 (nol) sampai tak terhingga.
Misal : 0,1,2,3,….
Bilangan prima adalah bilangan yang tepat mempunyai dua faktor yaitu bilangan 1 (satu) dan bilangan itu sendiri.
Misal : 2,3,5,7,11,13,…..
(1 bukan bilangan prima, karena mempunyai satu faktor saja).
Bilangan komposit adalah bilangan yang bukan 0, bukan 1 dan bukan bilangan prima.
Misal ; 4,6,8,9,10,12,….
Bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan sebagai suatu pembagian antara dua bilangan bulat (berbentuk bilangan a/b, dimana a dan b merupakan bilangan bulat).
Misal: 1/2 ,2/(3 ),3/4….
Bilangan irrasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pembagian dua bilangan bulat.
Misal: π, √3 , log 7 dan sebagainya.
Bilangan riil adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan rasional dan bilangan irrasional
Misal: 1/2 √(2 ),1/3 √5,1/4 π,2/3 log⁡2 dan sebagainya.
Bilangan imajiner (bilangan khayal) adalah bilangan yang ditandai dengan i, bilangan imajiner i dinyatakan sebagai √(-1). Jadi, jika i = √(-1) maka i2= -1
Misal: √(-4)=⋯?
√(-4)=√(4×(-1) )
= √4×√(-1)
= 2 × i
= 2i
Jadi, √(-4)=2i.
Bilangan kompleks adalah bilangan yang merupakan penggabungan dari bilangan riil dan bilangan imajiner.
Misal; π√(-1)= πi
Log √(-1)=log⁡i

BAB V

PENUTUP

5.1 KESIMPULAN

Manfaat mempelajari MATEMATIKA DISKRIT adalah membantu setiap orang yang mempelajari logika untuk berpikir secara rasional, kritis, lurus, tetap, tertib, metodis dan koheren, meningkatkan kemampuan berpikir secara abstrak, cermat, dan objektif, menambah kecerdasan dan meningkatkan kemampuan berpikir secara tajam dan mandiri, memaksa dan mendorong orang untuk berpikir sendiri dengan menggunakan asas-asas sistematis, meningkatkan cinta akan kebenaran dan menghindari kesalahan-kesalahan berpikir, kekeliruan serta kesesatan, mampu melakukan analisis terhadap suatu kejadian.

5.2  SARAN

Tanpa kita sadari ternyata begitu banyak manfaat dari aplikasi matematika untuk kehidupan sehari-hari.Baik dalam bidang ekonomi, pendidikan, dan dalam berbagai disiplin ilmu yang lainya.Oleh karena itu penulis menyarankan agar kita lebih seius dalam mempelajari matematika dan jangan dijadikan matematika sebagai sesuatu yang menyeramkan untuk dipelajari karena matematika adalah bagian sangat dekat yang tak terpisahkan dari kehidupan kita.

---